由曲线y2＝2zx＝0绕z轴旋转一周形成的曲面与z=8围成的区域为Ω，求：I=∭Ω（x2+y2）dxdydz．

Question

由曲线

y2＝2z

x＝0

绕z轴旋转一周形成的曲面与z=8围成的区域为Ω，求：I=

∭

Ω

（x²+y²）dxdydz．

Answer 1

由题意，旋转曲面的方程为：x²+y²=2z
利用柱面坐标变换：x=rcosθ，y=rsinθ，z=z则
Ω＝{(r，θ，z)|0≤θ≤2π，0≤r≤4，(r2)/(2)≤z≤8}
∴I=

∭

Ω

（x²+y²）dxdydz=

∫

2π 0

dθ

∫

4 0

dr

∫	8 (r2)/(2)

r2•rdz
=2π

∫

4 0

r3(8−(r2)/(2))dr＝(1024π)/(3)