计算曲面积分I=∬（x-y+z）dydz+（y-z+x）dzdy+（z-x+y）dxdy，其中，∑：x2+y2=z2介于z=0与z=1之间部分的外侧．

Question

计算曲面积分I=

∬

（x-y+z）dydz+（y-z+x）dzdy+（z-x+y）dxdy，其中，∑：x2+y2=z2
介于z=0与z=1之间部分的外侧．

Answer 1

补充平面∑1：z=1(x2+y2≤1)取上侧，设∑和∑₁所围成的立体为Ω
∵P=x-y+z，Q=y-z+x，R=z-x+y，
∴(∂P)/(∂x)=1，(∂Q)/(∂y)=1，(∂R)/(∂z)=1
∴由高斯公式，得
I=

∫∫

∑+∑1

（x-y+z）dydz+（y-z+x）dzdy+（z-x+y）dxdy-

∬

∑1

（x-y+z）dydz+（y-z+x）dzdy+（z-x+y）dxdy
=3

∫∫∫

Ω

dxdydz-

∫∫

x2+y2≤1

(1-x+y)dxdy
=3

∫

1 0

dz

∫∫

x2+y2≤z2

dxdy-

∫∫

x2+y2≤1

dxdy
=3

∫

1 0

πz2dz-π=0