计算曲面积分I=∬f（x，y，z）dS，其中∑：x2+y2+z2=1，f（x，y，z）=x2+y2，z≥x2+y21，z＜x2+y2．

Question

计算曲面积分I=

∬

f（x，y，z）dS，其中∑：x²+y²+z²=1，f（x，y，z）=

x2+y2，z≥√(x2+y2)

1，         z＜√(x2+y2)

．

Answer 1

设∑₁={（x，y，z）：x²+y²≤1，z=0}，方向向下，则曲面∑+∑₁所围区域为Ω={（x，y，z）：x²+y²+z²≤1，z≥0}，设Ω₁={（x，y，z）：x²+y²+z²≤1，z≥√(x2+y2)}，利用高斯公式可得：

∬

∑+∑1

f(x，y，z)dS=

∭

Ω

((∂f)/(∂x)+(∂f)/(∂y)+(∂f)/(∂z))dxdydz=

∭

Ω1

(x+y)dxdydz．
由区域Ω₁的对称性可得，

∭

Ω1

xdxdydz=

∭

Ω1

ydxdydz=0．
由曲面积分的几何意义可得，

∬

∑1

f(x，y，z)dS=-

∬

∑1

dS=-π，
所以 I=

∬

f(x，y，z)dxdydz=0-（-π）=π．