设平面区域D={（x，y）|1≤x2+y2≤4，x≥0．y≥0}．计算∫∫Dxsin(πx2+y2)x+ydxdy．

Question

设平面区域D={（x，y）|1≤x²+y²≤4，x≥0．y≥0}．计算

∫∫

D

(xsin(π√(x2+y2)))/(x+y)dxdy．

Answer 1

∵积分区域D关于x，y的对称性
∴

∬

D

(xsin(π√(x2+y2)))/(x+y)dxdy=

∬

D

(ysin(π√(x2+y2)))/(x+y)dxdy
因此有：

∬

D

(xsin(π√(x2+y2)))/(x+y)dxdy=(1)/(2)[

∬

D

(xsin(π√(x2+y2)))/(x+y)dxdy+

∬

D

(ysin(π√(x2+y2)))/(x+y)dxdy]
=(1)/(2)

∬

D

((x+y)sin(π√(x2+y2)))/(x+y)dxdy
=(1)/(2)

∬

D

sin（π√(x2+y2)）dxdy
令x=rcosθ，y=rsinθ   r∈[1，2]，θ∉[0，(π)/(2)]；
于是原积分可化为：

∬

D

(xsin(π√(x2+y2)))/(x+y)dxdy=(1)/(2)

∬

D

sin（π√(x2+y2)）dxdy
=(1)/(2)

∫

(π)/(2) 0

dθ

∫

2 1

rsinπrdr
=(π)/(4)

∫

2 1

rsinπrdr
=(1)/(4)

∫

2 1

rsinπrdπr
=(1)/(4)×（-

∫

2 1

rdcosπr）
=(1)/(4)×（-rcosπr

|

2 1

+

∫

2 1

cosπrdr）
=(1)/(4)×（-3+

∫

2 1

cosπrdr）
=-(3)/(4)．
故本题答案为：-(3)/(4)．