设X1，X2，…，X9是来自正态总体X的简单随机样本，Y1=16（X1+X2+…+X6），Y2=13（X7+X8+X9），S2=129i＝7（Xi-Y2）2，Z=2(Y1−Y2)S，证明统计量Z服从自由度为2的t分布．

Question

设X₁，X₂，…，X₉是来自正态总体X的简单随机样本，Y₁=(1)/(6)（X₁+X₂+…+X₆），Y₂=(1)/(3)（X₇+X₈+X₉），S²=(1)/(2)

9

i＝7

（X_i-Y₂）²，Z=(√(2)(Y1−Y2))/(S)，证明统计量Z服从自由度为2的t分布．

Answer 1

证明：设X～N（μ，σ²），则有E（Y₁）=E（Y₂）=μ，D（Y₁）=(σ2)/(6)，D（Y₂）=(σ2)/(3)．由于Y₁与Y₂相互独立，
    因此有E（Y₁-Y₂）=0，D（Y₁-Y₂）=(σ2)/(2)，所以Y₁-Y₂～N（0，(σ2)/(2)），
   从而U=(Y1−Y2)/((σ)/(√(2)))～N（0，1），又由正态总体样本方差的性质，知V=(2S2)/(σ2)～χ²（2）
      又因Y₁-Y₂与S²相互独立，因此(U)/(√((V)/(2)))=(√(2)(Y1−Y2))/(S)～t（2）