已知函数fx=x-1/2ax^2-ln(1+x).求1,fx的单调区间2,若fx在[0,+∞)上的最大值是0,求a的取值范围

Question

已知函数fx=x-1/2ax^2-ln(1+x) . 求 1,fx的单调区间 2,若fx在[0,
+∞)上的最大值是0,求a的取值范围

Answer 1

解析如下：
f′(x)=
x(1-a-ax)x+1,x∈(-1,+∞)．
依题意,令f'（2）=0,解得 a=
13．
经检验,a=
13时,符合题意．…（4分）
①当a=0时,f′(x)=
xx+1．
故f（x）的单调增区间是（0,+∞）；单调减区间是（-1,0）．
②当a＞0时,令f'（x）=0,得x1=0,或x2=
1a-1．
当0＜a＜1时,f（x）与f'（x）的情况如下：
x（-1,x1）x1（x1,x2）x2（x2,+∞）f'（x）-0+0+f（x）↘f（x1）↗f（x2）↘所以,f（x）的单调增区间是(0,
1a-1)；单调减区间是（-1,0）和(
1a-1,+∞)．
当a=1时,f（x）的单调减区间是（-1,+∞）．
当a＞1时,-1＜x2＜0,f（x）与f'（x）的情况如下：
x（-1,x2）x2（x2,x1）x1（x1,+∞）f'（x）-0+0+f（x）↘f（x2）↗f（x1）↘所以,f（x）的单调增区间是(
1a-1,0)；单调减区间是(-1,
1a-1)和（0,+∞）．
③当a＜0时,f（x）的单调增区间是（0,+∞）；单调减区间是（-1,0）．
综上,当a≤0时,f（x）的增区间是（0,+∞）,减区间是（-1,0）；
当0＜a＜1时,f（x）的增区间是(0,
1a-1),减区间是（-1,0）和(
1a-1,+∞)；
当a=1时,f（x）的减区间是（-1,+∞）；
当a＞1时,f（x）的增区间是(
1a-1,0)；减区间是(-1,
1a-1)和（0,+∞）．
…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 a≤0时,f（x）在（0,+∞）上单调递增,由f（0）=0,知不合题意．
当0＜a＜1时,f（x）在（0,+∞）的最大值是f(
1a-1),
由f(
1a-1)＞f(0)=0,知不合题意．
当a≥1时,f（x）在（0,+∞）单调递减,
可得f（x）在[0,+∞）上的最大值是f（0）=0,符合题意．
所以,f（x）在[0,+∞）上的最大值是0时,a的取值范围是[1,+∞）．…（12分）