如果函数f（x）=12（m-2）x2+（n-8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[12，2]上单调递减，则mn的最大值为．

Question

如果函数f（x）= (1)/(2)（m-2）x²+（n-8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[ (1)/(2)，2]上单调递减，则mn的最大值为___．

Answer 1

∵函数f（x）=(1)/(2)（m-2）x²+（n-8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[(1)/(2)，2]上单调递减，
∴f′（x）≤0，即（m-2）x+n-8≤0在[(1)/(2)，2]上恒成立．
而y=（m-2）x+n-8是一次函数，在[(1)/(2)，2]上的图象是一条线段．
故只须在两个端点处f′（(1)/(2)）≤0，f′（2）≤0即可．即

(1)/(2)(m-2)+n-8≤0①

2(m-2)+n-8≤0②

，
由②得m≤(1)/(2)（12-n），
∴mn≤(1)/(2)n（12-n）≤(1)/(2)((n+12-n)/(2))2=18，
当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足①和②．
∴mn的最大值为18．
故答案为：18．