（2010•重庆一模）对于数列{an}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N*，都有|an|≤M，则称{an}为有界数列．（Ⅰ）判断an=2+sinn是否为有界数列并说明理由．（Ⅱ）是否存在正项等比数列{an}，

Question

（2010•重庆一模）对于数列{a_n}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N^*，都有|a_n|≤M，则称{a_n}为有界数列．
（Ⅰ）判断a_n=2+sinn是否为有界数列并说明理由．
（Ⅱ）是否存在正项等比数列{a_n}，使得{a_n}的前n项和S_n构成的数列{S_n}是有界数列？若存在，求数列{a_n}的公比q的取值范围；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）判断数列an＝(1)/(3)+(1)/(5)+(1)/(7)+…+(1)/(2n−1)(n≥2)是否为有界数列，并证明．

Answer 1

（Ⅰ）1≤a_n=2+sinn≤3，
故{a_n}为有界数列…（2分）
（Ⅱ）设公比为q，当0＜q＜1时，Sn＝(a1(1−qn))/(1−q)＜(a1)/(1−q)，
则正数数列{S_n}满足|Sn|＜(a1)/(1−q)，即为有界数列；
当q=1时，S_n=na₁→+∞，故为无界数列；
当q＞1时，S_n=a₁+a₂+…+a_n＞na₁→+∞，此时为无界数列．
综上：当且仅当0＜q＜1时，{S_n}为有界数列…（6分）．
（Ⅲ）{a_n}为无界数列，事实上an＝(1)/(3)+(1)/(5)+(1)/(7)+…+(1)/(2n−1)＞(1)/(4)+(1)/(6)+(1)/(8)+…+(1)/(2n)
∴2an＞(1)/(3)+(1)/(4)+(1)/(5)+(1)/(6)+…+(1)/(2n−1)+(1)/(2n)
∴2a2n＞(1)/(3)+(1)/(4)+(1)/(5)+(1)/(6)+…+(1)/(2•2n)=((1)/(3)+(1)/(4))+((1)/(5)+(1)/(6)+(1)/(7)+(1)/(8))+((1)/(9)+…+(1)/(16))+…+((1)/(2n+1)+(1)/(2n+2)+…+(1)/(2n+2n))＞<

作业帮用户 2017-10-02

问题解析

（Ⅰ）求a_n=2+sinn的值域为1≤a_n=2+sinn≤3，根据有界数列的定义可以判断；
（Ⅱ）对公比q进行讨论，当0＜q＜1时，Sn＝

1

(a1(1−qn))/(1−q)＜(a1)/(1−q)，易知正数数列{S_n}满足|Sn|＜(a1)/(1−q)，即为有界数列；当q=1时，S_n=na₁→+∞，故为无界数列；当q＞1时，S_n=a₁+a₂+…+a_n＞na₁→+∞，此时为无界数列，从而得结论．
（Ⅲ）{a_n}为无界数列，利用放缩法，转换为利用等比数列求和可证．

名师点评

本题考点：

数列与不等式的综合；数列的函数特性；数列的求和．

考点点评：

本题以数列为载体，考查新定义，关键是理解新定义，对等比数列应注意求和公式的使用条件．

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