若y是关于x的函数，H是常数（H>0），若对于此函数图象上的任一两点（x1，y1），（x2，y2），都有|y1-y2|≤H，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H的最小值，称为该函数的界

Question

若y是关于x的函数，H是常数（H>0），若对于此函数图象上的任一两点（x₁，y₁），（x₂，y₂），都有|y₁-y₂|≤H，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H的最小值，称为该函数的界高．
例如：下面所表示的函数的界高为4．

（1）若函数y=kx+1（-2≤x≤1）的界高为4，求k的值；
（2）已知m>-2，若函数y=x²（-2≤x≤m）的界高为4，求实数m的取值范围；
（3）已知a>0，函数y=x²-2ax+3a（-2≤x≤1）的界高为(25)/(4)，求a的值．

Answer 1

（1）将x₁=-2代入得；y₁=-2k+1，将x₂=1代入得：y₂=k+1，
∵|y₁-y₂|=4，
∴|-3k|=4．
解得：k=±(4)/(3)．
（2）将y=4代入抛物线的解析式得：x²=4，解得：x₁=-2，x₂=2，
∴m=2．
∴m的取值范围是0≤m<2．
（3）当a≥1时，将x₁=-2，x₂=1代入函数解析式求得y₁=4+7a，y₂=1+a，
∵|y₁-y₂|=(25)/(4)，
∴3+6a=(25)/(4)，
解得：a=(13)/(24)
又∵a≥1
故此种情况不成立；
当0≤a≤1时，将x₁=-2，x₂=a代入函数解析式得：y₁=4+7a，y₂=3a-a²，
∵y₁-y₂=(25)/(4)，
∴a²+4a-(9)/(4)=0，
解得：a₁=(1)/(2)，a₂=-(9)/(2)（舍去）
故a=(1)/(2)．