已知点P为函数f（x）=lnx的图象上任意一点，点Q为圆[x-(e+1e)]2+y2=14上任意一点，则线段PQ长度的最小值为（）A.e-e2-1eB.2e2+1-e2eC.e2+1-e2eD.e+1e-12

Question

已知点P为函数f（x）=lnx的图象上任意一点，点Q为圆[x-(e+

(1)/(e))]2+y2=(1)/(4)上任意一点，则线段PQ长度的最小值为（　　）

A.

(e-√(e2-1))/(e)

B.

(2√(e2+1)-e)/(2e)

C.

(√(e2+1)-e)/(2e)

D. e+

(1)/(e)-(1)/(2)

Answer 1

由圆的对称性可得只需考虑圆心C（e+(1)/(e)，0）到函数f（x）=lnx图象上一点的距离的最小值．
设f（x）图象上一点（m，lnm），
由f（x）的导数为f′（x）=(1)/(x)，即有切线的斜率为k=(1)/(m)，
可得(lnm-0)/(m-(e+(1)/(e)))=-m，
即有lnm+m²-（e+(1)/(e)）m=0，
由g（x）=lnx+x²-（e+(1)/(e)）x，可得g′（x）=(1)/(x)+2x-（e+(1)/(e)），
当2<x<3时，g′（x）>0，g（x）递增．
又g（e）=lne+e²-（e+(1)/(e)）•e=0，
可得x=e处点P（e，1）到点Q的距离最小，且为√(1+(1)/(e2))，
则线段PQ的长度的最小值为√(1+(1)/(e2))-(1)/(2)=(2√(e2+1)-e)/(2e)．
故选：B．