对数列{an}和{bn},若对任意正整数n,恒有bn≤an,则称数列{bn}是数列{an}的“下界数列”.设数列an=1/n^2,n=1时,bn=7;n>=2时,bn=7/n-7/(n−1),构造Pn=(1+b1)+(1+b2)+...+(1+bn),Tn=(

Question

对数列 {an } 和 {bn } ,若对任意正整数 n ,恒有 bn ≤ an ,则称数列 {bn } 是数列 {an } 的“下界数列” .设数列 an =1/n^2,
n=1时,bn = 7 ; n>=2时,bn=7/n-7/(n−1)
,构造 Pn = (1 + b1 ) + (1 + b2 ) +...+ (1 + bn ) ,Tn = (1 − a2 )(1 − a3 )...(1 − an ) ,求使 Tn ≤ kPn 对 n ≥ 2,n∈N*
恒成立 k 的最小值．

Answer 1

Tn=(1-
1
22
)(1-
1
32
)…(1-
1
n2
)=
1×3
22
•
2×4
32
…
(n-1)(n+1)
n2
=
n+1
2n
,…（11分）
Pn=n+
7
n
,…（12分）
不等式为
n+1
2n
≤k•
n2+7
n
,∴k≥
n+1
2(n2+7)
∵Tn≤kPn对n≥2,n∈N*恒成立,∴k≥[
n+1
2(n2+7)
]max,…（13分）
设n+1=t,t≥3,则
n+1
2(n2+7)
=
t
2(t2-2t+8)
=
1
2(t+
8
t
-2)
,…（15分）
当t≥3时,t+
8
t
单调递增,∴t=3时,t+
8
t
取得最小值,因此[
n+1
2(n2+7)
]max=
3
22
,…（17分）
∴k的最小值为
3
22
．…（18分）