非齐次线性方程组所有解向量的极大线性无关向量的个数为n-r+1,

Question

非齐次线性方程组所有解向量的极大线性无关向量的个数为n-r+1,

Answer 1

这需要两个结论:
设x0是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,α1,α2,...,αn-r是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系,证明
1.x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r是方程组AX=b的n-r+1个线性无关的解向量
2.AX=b的任意解X可表示成：
X=k0X0+k1(X0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)
证明:(1) 显然 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 都是AX=b的解.
设 k0X0+k1(X0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)=0
则 (k0+k1+...+kn-r)x0+k1a1+...+kn-ran-r=0 (*)
等式两边左乘A,因为 Ax0=b,Aai=0
所以有 (k0+k1+...+kn-r)b=0.
因为b是非零向量,所以 k0+k1+...+kn-r=0
所以 (*) 式化为 k1a1+...+kn-ran-r=0.
又因为 α1,α2,...,αn-r 线性无关
所以 k1=k2=...=kn-r=0
进而有 k0=0
所以 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 线性无关
故 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 是方程组AX=b的n-r+1个线性无关的解向量
(2) 由线性方程组解的结构知,Ax=b的任一解可表示为
x0+k1α1+k2α2+...+kn-rαn-r
= (1-k1-k2-...-kn-r)x0+k1(x0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)
令 k0=1-k1-k2-...-kn-r
则 Ax=b的任一解可表示为 X=k0X0+k1(x0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)
其中 k0+k1+...+kn-r=1.