已知函数f（x）=exx2-k（2x+lnx），若x=2是函数f（x）的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为（）A.（-∞，e]B.[0，e]C.（-∞，e）D.[0，e）

Question

已知函数f（x）=

(ex)/(x2)-k（(2)/(x)+lnx），若x=2是函数f（x）的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为（　　）

A. （-∞，e]

B. [0，e]

C. （-∞，e）

D. [0，e）

Answer 1

∵函数f（x）=(ex)/(x2)-k（(2)/(x)+lnx），
∴函数f（x）的定义域是（0，+∞）
∴f′（x）=(exx2-2xex)/(x4)-k（-(2)/(x2)+(1)/(x)）=((ex-kx)(x-2))/(x3)
∵x=2是函数f（x）的唯一一个极值点
∴x=2是导函数f′（x）=0的唯一根．
∴e^x-kx=0在（0，+∞）无变号零点，
令g（x）=e^x-kx
g′（x）=e^x-k
①k≤0时，g′（x）>0恒成立．g（x）在（0，+∞）时单调递增的
g（x）的最小值为g（0）=1，g（x）=0无解
②k>0时，g′（x）=0有解为：x=lnk
0<x<lnk时，g′（x）<0，g（x）单调递减
lnk<x时，g′（x）>0，g（x）单调递增
∴g（x）的最小值为g（lnk）=k-klnk
∴k-klnk>0
∴k<e，
由y=e^x和y=ex图象，它们切于（1，e），
综上所述，k≤e．
故选C