在平面直角坐标系内，不难得到“对于双曲线xy=k(k>0)上任意一点P，若点P在x轴、y轴上的射影分别为M、N，则PM的绝对值*PN的绝对值必为定值K”类比于此，对于双曲线(x2/a2)-(y2/b2）=1(a>0,b>0)上

Question

在平面直角坐标系内，不难得到“对于双曲线xy=k(k>0)上任意一点P，若点P在x轴、y轴上的射影分别为M、N，则PM的绝对值*PN的绝对值必为定值K” 类比于此，对于双曲线(x2/a2)-(y2/b2）=1 (a>0,b>0)上任意一点P，类似的命题为？

Answer 1

有.类比之前的结论,P在两条渐近线上的射影M,N,
则有|PM||PN|=a^2b^2/(a^2+b^2)
设P(x0,y0), 过P(x0,y0)做两条渐近线的垂线,垂足为M,N
两条渐进的方程为:bx+ay=0和bx-ay=0
P到其中一条渐近线的距离为|bx0+ay0|/根号(a^2+b^2)
到另一条渐近线的距离为|bx0-ay0|/根号(a^2+b^2)
两者相乘,得:|PM||PN|=|b^2x0^2-a^2y0^2|/(a^2+b^2)
又P在双曲线上,所以有x0^2/a^2-y0^2/b^2=1
所以 b^x0^2-a^2y0^2=a^2b^2
所以有
|PM||PN|=a^2b^2/(a^2+b^2)