已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点，（1）求证：C1O∥面AB1D1；（2）求二面角A-B1D1-C1的正切值．

Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底面ABCD对角线的交点，
（1）求证：C₁O∥面AB₁D₁；
（2）求二面角A-B₁D₁-C₁的正切值．

Answer 1

证明：（1）连接A₁C₁交B₁D₁于点O₁，连AO₁，由C₁O₁∥AO，C₁O₁=AO，
知四边形AOC₁O₁为平行四边形，
得AO₁∥C₁O．     （2分）
又AO₁⊂面AB₁D₁，C₁O⊄面AB₁D₁，
故C₁O∥面AB₁D₁．                （4分）
（2）连接A₁C₁交B₁D₁于点O₁，显然A₁O₁⊥D₁B₁，（5分）    
而AA₁⊥面A₁B₁C₁D₁，B₁D₁⊂面A₁B₁C₁D₁，
故B₁D₁⊥面AA₁O₁，AO₁⊥B₁D₁，
故∠A₁O₁A的 补角为二面角A-B₁D₁-C₁的平面角．   （7分）
AA₁=a，则O₁A₁=(√(2))/(2)a，
则tan∠AO1A1＝(AA1)/(A1O1)=√(2)，
故所求的二面角的正切值为−√(2)．（8分）