CD是直角三角形ABC斜边上的高，BD=2AD，将△ACD绕CD旋转到△A′CD，使二面角A′-CD-B为60°．（1）求证：BA′⊥面A′CD；（2）求异面直线A′C与BD所成角的余弦．

Question

CD是直角三角形ABC斜边上的高，BD=2AD，将△ACD绕CD旋转到△A′CD，使二面角A′-CD-B为60°．

（1）求证：BA′⊥面A′CD；
（2）求异面直线A′C与BD所成角的余弦．

Answer 1

证明：（1）∵BD=2AD
∴BD=2AD
∵二面角A′-CD-B为60°，∠BDA为二面角A′-CD-B的平面角
∴∠BDA=60°
∴△BAA′D为直角三角形
∴A′D⊥A′B
又∵CD⊥A′B，CD∩A′D=D
∴BA′⊥面A′CD
（2）过A′作BD的平行线A′E然后构造平行四边形BA′DE
∴根据异面直线所成的角的定义可得∠CA′E异面直线A′C与BD所成角
设AD=1
∴BD=2，A′B=√(3)，CD=√(2)，A′D=1，CE=√(5)
∴由余弦定理得：cos∠CA′E=(A′C2+A′E2- EC2)/(2A′C•A′E)=(√(3))/(6)
即异面直线A′C与BD所成角的余弦为(√(3))/(6)