把两个全等的等腰直角三角形三角板AOC和DCE（其直角边长均为4）叠放在一起……把两个全等的等腰直角三角形三角板AOB和DCE（其直角边长均为4）叠放在一起,且使三角板DCE直角顶点C与△AOB斜

Question

把两个全等的等腰直角三角形三角板AOC和DCE（其直角边长均为4）叠放在一起……
把两个全等的等腰直角三角形三角板AOB和DCE（其直角边长均为4）叠放在一起,且使三角板DCE直角顶点C与△AOB斜边AB中点C重合,先将△DCE绕C点逆时针旋转,四边形CPOQ是旋转过程中两个三角形的重叠部分.
（1）在上述旋转过程中,CP与CQ有怎样的数量变化?四边形CPOQ的面积有何变化?若不变,求四边形CPOQ的面积；若变,求出变化的取值范围.
（2）在（1）的前提下,BQ的长度是多少时,△CPQ的面积恰好是△AOB面积的16分之5.?

Answer 1

（1）由题意知：OA=OB=4,即A（0,4）,B（4,0）；
由于C是AB中点,则C（2,2）；
由图易知：D、C关于y轴对称,即D（-2,2）,同理得：E（2,-2）；
C（2,2）、D（-2,2）、E（2,-2）．
（2）在上述旋转过程中,CP=CQ,四边形CPOQ的面积不变,面积为4,是一个定值,
在旋转过程中其大小始终不变：过点C分别作CM⊥x轴于M点,CN⊥y轴于N点,则CM=CN．
在△CNP与△CMQ中,CM=CN,∠CNP=∠CMQ=90°,
∴∠NCP=∠NCM-∠PCM=90°-∠PCM=∠MCQ,
所以CP=CQ,△CNP与△CMQ的面积相等,
则四边形CPOQ的面积就是正方形CNOP的面积,
所以四边形CPOQ的面积=2×2=4．
（3）设BQ=a,则MQ=2-a,
在Rt△CMQ中,CQ2=CM2+MQ2=4+（2-a）2,
而△CPQ的面积为CQ2=（4+（2-a）2）=×8,
解得a=1或3,
当BQ=1或3时,△CPQ的面积均等于△AOB的面积的．