试证明开普勒方程y=x+ɛsiny（0<ɛ<1）所确定的隐函数y=y（x）在x=0的某领域内是单调增加的，并问点（0，0）是否曲线y=x+ɛsiny的拐点，为什么？

Question

试证明开普勒方程y=x+ɛsiny（0<ɛ<1）所确定的隐函数y=y（x）在x=0的某领域内是单调增加的，并问点（0，0）是否曲线y=x+ɛsiny的拐点，为什么？

Answer 1

方程y=x+ɛsiny两端对x求导，得
(dy)/(dx)=1+ɛ(dy)/(dx)cosy
∴(dy)/(dx)=(1)/(1-ɛcosy)
又0<ɛ<1
∴在x=0的某领域内，有1-ɛcosy>0
∴在x=0的某领域内，(dy)/(dx)>0
∴隐函数y=y（x）在x=0的某领域内是单调增加的
又(d2y)/(dx2)=(-ɛsiny(dy)/(dx))/((1-ɛcosy)2)=(-ɛsiny)/((1-ɛcosy)3)
∴当>1y>0时，(d2y)/(dx2)<0；当-1<y<0时，(d2y)/(dx2)>0
∴点（0，0）是曲线y=x+ɛsiny的拐点