设圆台的高为3，其轴截面（过圆台轴的截面）如图所示，母线A1A与底面圆的直径AB的夹角为60°，在轴截面中A1B⊥A1A，求圆台的体积V．

Question

设圆台的高为3，其轴截面（过圆台轴的截面）如图所示，母线A₁A与底面圆的直径AB的夹角为60°，在轴截面中A₁B⊥A₁A，求圆台的体积V．

Answer 1

设AB的中点为O，作A₁D⊥AB，则A₁D=3，
∵A₁B⊥A₁A
∴在直角△A₁AB中，A₁O=(1)/(2)AB＝AO，
又∵∠A₁AB=60°
∴△A₁AO为等边三角形．
∴在△A₁AO中A₁D=(√(3))/(2)AO＝3，得AO=2√(3)，
设圆台的上、下底面半径分别为r，R．
∴R=AO=2√(3)，r=DO=(1)/(2)A0＝√(3)，
∴上、下底面面积分别为：S'=πr²=3π，S=πR²=12π，
∴体积v=(1)/(3)(S′+S+√(S′S))•A1D=(1)/(3)(3π+√(36π2)+12π)×3＝21π．
∴圆台的体积为21π．