（2014•南昌模拟）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱SA⊥底面ABCD，过A作AE垂直SB交SB于E点，作AH垂直SD交SD于H点，平面AEH交SC于K点，P是SA上的动点，且AB=1，SA=2．（1）试证明不论点P在

Question

（2014•南昌模拟）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱SA⊥底面ABCD，过A作AE垂直SB交SB于E点，作AH垂直SD交SD于H点，平面AEH交SC于K点，P是SA上的动点，且AB=1，SA=2．
（1）试证明不论点P在何位置，都有DB⊥PC；
（2）求PB+PH的最小值；
（3）设平面AEKH与平面ABCD的交线为l，求证：BD∥l．

Answer 1

（1）证明：∵底面ABCD是正方形∴DB⊥AC，------------------------------（1分）
∵SA⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴DB⊥SA，---------------------（2分）
又SA∩AC=A∴BD⊥平面SAC，
∵不论点P在何位置都有PC⊂平面SAC，
∴DB⊥PC．----------------------------------------------（3分）
（2）将侧面SAB绕侧棱SA旋转到与侧面SAD在同一平面内，如图示，
则当B、P、H三点共线时，PB+PH取最小值，这时，PB+PH的最小值即线
段BH的长，--------------------------------------------（4分）
设∠HAD=α，则∠BAH=π-α，
在rt△AHD中，∵AH＝(SA•AD)/(SD)＝(2)/(√(5))，∴cosα＝(AH)/(AD)＝(2)/(√(5))，--------------------（6分）
在三角形BAH中，有余弦定理得：BH²=AB²+AH²-2AB•AHcos（π-α）
=1+(4)/(5)−2×(2)/(√(5))×(−(2)/(√(5)))＝(17)/(5)，∴（
(PB+PH)min＝(√(85))/(5)．------------------------------------------------------------（8分）
 （3）连结EH，∵AB=AD，SA=SA，∴Rt△SAB≌Rt△SAD，
∴SB=SD，-------------------------------------（9分）
又∵AE⊥SB，AH⊥SD，∴AE=AH，∴Rt△SEA≌Rt△SAH，
∴SE=SH，----------------------------------（10分）
∴(SE)/(SB)＝(SH)/(SD)，∴EH∥BD，-----------------------（12分）
又∵EH⊂面AEKH，BD⊈面AEKH，∴BD∥面