一个四棱锥的三视图如图所示，E为侧棱PC上一动点．（1）画出该四棱锥的直观图，并指出几何体的主要特征（高、底等）．（2）点E在何处时，PA∥平面EBD，并求出此时点A到平面EBD的距离．

Question

一个四棱锥的三视图如图所示，E为侧棱PC上一动点．
（1）画出该四棱锥的直观图，并指出几何体的主要特征（高、底等）．
（2）点E在何处时，PA∥平面EBD，并求出此时点A到平面EBD的距离．

Answer 1

（1）直观图如右图所示：…（3分）
该四棱锥底面为菱形，边长为2，其中角A为60度，
顶点A在底面内的射影为底面菱形的中心，四棱锥高为1．…（4分）
（2）当E为PC中点时，PA∥平面EBD．…（5分）
证明如下：
连接AC，且AC、BD交点为O．
∵四边形ABCD为正方形，
∴O为AC的中点，
又∵E为PC中点，
∴OE为△ACP的中位线，得PA∥EO，
∵PA⊈平面EBD，EO⊆平面EBD，∴PA∥平面EBD．…（8分）
当E为棱PC中点时，因为底面ABCD为菱形，P在面ABCD内的射影为O，
∴BD⊥面PAC，
结合BD⊆面BDE，得面BDE⊥面PAC．
又∵PA∥OE，∴点A到平面EBD的距离等于△POE中OE边的高．
∵△POC中，PO=1，
∴tan∠OPE＝(OC)/(OP)＝√(3)，PE＝(1)/(2)PC＝(1)/(2)√(PO2+OC2)＝1．
即△POE为正三角形，OE边的高等于(√(3))/(2)PE=(√(3))/(2)．
故点A到平面EBD的距离等于(√(3))/(2)．…（12分）