如图，在四棱锥中，，，，，点为棱的中点．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．

Question

如图，在四棱锥 中， ， ， ， ，点 为棱 的中点．

（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）若 为棱 上一点，满足 ，求二面角 的余弦值．

Answer 1

（1）详见试题分析；（2）直线0 与平面1 所成角的正弦值为 ；（3） ．

试题分析：（1）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明 。也可以利用综合法：要证 ，由于 是异面直线，可将问题转化为证明线面垂直。由于点 为棱 的中点，可以先取 中点 ，连结 ，从而可证得 。由线面垂直的判定定理易证 平面 ，从而 ，最后证得 ；（2）向量法：先求平面 的法向量 ，然后利用公式 求直线 与平面 所成角的正弦值．综合法：在（1）的基础上，可先证明 为直线 与平面 所成的角，在直角三角形 中，利用锐角三角函数即可求得直线 与平面 所成角的正弦值；（3）向量法：先求平面 和平面 的法向量 ，再利用公式 来求二面角5 的余弦值．综合法：先利用三垂线定理或其逆定理作出二面角5 的平面角，再利用解三角形的有关知识求其余弦值．
试题解析：（方法一）依题意，以点 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得 ， ，

作业帮用户 2017-10-20

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