如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=BC=BB1=2，D点为棱AB的中点．（1）求证：AC1∥平面CDB1（2）求BB1与平面CDB1所成角的正切值．

Question

如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=BC=BB₁=2，D点为棱AB的中点．
（1）求证：AC₁∥平面CDB₁
（2）求BB₁与平面CDB₁所成角的正切值．

Answer 1

（1）证明：连接BC₁交B₁C于M，连接DM
∴M是B₁C的中点
∵D是AB的中点，∴MD∥AC₁，
又MD⊂平面CDB₁，AC₁⊄平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（2）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D点为棱AB的中点．
∴CD⊥平面ABB₁A₁，
∵CD⊂平面CDB₁．
∴平面CDB₁⊥ABB₁A₁，
过B作BE⊥B₁D，∵平面CDB₁∩ABB₁A₁=B₁D
∴BE⊥平面CDB₁．
∴∠BB₁E是BB₁与平面CDB₁所成角
∵BB₁⊥BD
∴△BEB₁∽△DBB₁，
由BD＝(1)/(2)AB＝1，BB1＝2得tan∠BB1E＝(1)/(2)
即BB₁与平面CDB₁所成角的正切值为(1)/(2)