正三棱柱ABC-A1B1C1,底面边长为a,侧棱长为根号2a/2,求二面角A1-AB1-C1的余弦

Question

正三棱柱ABC-A1B1C1,底面边长为a,侧棱长为根号2a/2,求二面角A1-AB1-C1的余弦

Answer 1

你自己先作一个正三棱柱,为方便起见,把A1,B1,C1注在上底面,我先教你添线,从点C作A1B1的垂线,垂足是A1B1的中点D,在三角形AA1B1中,过D 作DE垂直于AB1,连接C1E,角C1ED就是所求的二面角的平面角
证明：C1D⊥A1B1 C1D⊥AA1 所以C1D⊥三角形AA1B1,
故C1D⊥AB1
由作图得DE⊥AB1 ① 所以AB1⊥三角形C1DE 故AB1⊥C1E②
由①② 可知角C1ED为所求的角
现在来计算：
C1D=√ 3a/2,在RT三角形AA1B1中,令角A1B1A= α ,tan α =AA1/A1B1=((√ 2)a/2)/a=√ 2/2
在RT三角形B1DE中,B1D=a/2 sin α =1/√ 3 所以DE=(a/2)*sin α =a/(2√ 3)
在RT三角形C1DE中,(C1E)^2=5/6 C1E=√ 5/√ 6
cos角C1ED=DE/C1E=√ (10)/10