（2010•闸北区一模）如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E在边BC上（与端点不重合），点F在射线DC上．（1）若AF=AE，并设CE=x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

Question

（2010•闸北区一模）如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E在边BC上（与端点不重合），点F在射线DC上．
（1）若AF=AE，并设CE=x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）当CE的长度为何值时，△AEF和△ECF相似？
（3）若CE＝(1)/(4)，延长FE与直线AB交于点G，当CF的长度为何值时，△EAG是等腰三角形？

Answer 1

（1）在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵AB=AD，AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，（2分）
∴BE=DF=1-x，
∴y=S_ABCD-S_△ABE-S_△ADF-S_△CEF，（1分）
∴y＝12−(1)/(2)•1•(1−x)−(1)/(2)•1•(1−x)−(1)/(2)x2，
∴y＝−(1)/(2)x2+x（0＜x＜1）．（2分）

（2）①若∠AEF=90°，∵△AEF∽△ECF，
∴∠FAE=∠FEC=∠EAB，∴△ECF∽△ABE，
∴(AE)/(EC)＝(EF)/(CF)，(EF)/(CF)＝(AE)/(BE)，
∴(AE)/(EC)＝(AE)/(BE)，∴CE＝BE＝(1)/(2)；（3分）
②当∠AFE=90°，同理可得CF＝FD＝(1)/(2)，
∵(CE)/(CF)＝(FD)/(AD)，∴CE＝(1)/(4)．（2分）

（3）①当AE=GE时，得：AB=BG=1，
∵(CF)/(BG)＝(CE)/(BE)，CE＝(1)/(4)，
∴(CF)/(1)＝(1)/(3)，∴CF=(1)/(3)；（1分）
②当AE=AG时，∵CE＝(1)/(4)，∴AG＝AE＝(5)/(4)，
∵(CF)/(BG)＝(CE)/(BE)，∴(CF)/((5)/(4)−1)＝(1)/(3)，∴CF=(1)/(12)；（1分）
③当AG=EG时，∵CE＝(1)/(4)，∴BG=3CF，EG²=BE²+GB²，
∴(1−3CF)2＝((3)/(4))2+(3CF)2，∴CF=(7)/(96)；（1分）
④当AG=AE时，∵CE＝(1)/(4)，∴AG＝AE＝(5)/(4)，
∵(CF)/(BG)＝(CE)/(BE)，∴(CF)/((5)/(4)+1)＝(1)/(3)，
∴CF=(3)/(4)．（1分）