如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE-BCF和一个正四棱锥P-ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面ABFE；（Ⅱ）求正四棱锥P-ABCD的高h，使得该四棱锥的体积是三棱锥P-ABF

Question

如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE-BCF和一个正四棱锥P-ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．

（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面ABFE；
（Ⅱ）求正四棱锥P-ABCD的高h，使得该四棱锥的体积是三棱锥P-ABF体积的4倍．

Answer 1

（Ⅰ）证明：直三棱柱ADE-BCF中，AB⊥平面ADE，
所以：AB⊥AD，又AD⊥AF，
所以：AD⊥平面ABFE，AD⊂平面PAD，
所以：平面PAD⊥平面ABFE…．（6分）
（Ⅱ）P到平面ABCD的距离d=1
所以：VP-ABF=(1)/(3)S△ABFd=(1)/(3)×(1)/(2)×2×2×1=(2)/(3)
而：VP-ABCD=(1)/(3)SABCDh=(1)/(3)×2×2h=4VP-ABF=(8)/(3)，
所以h=2…．（12分）