有一个所有棱长均为a的正四棱锥P-ABCD，还有一个所有棱长均为a的正三棱锥，将此三棱锥的一个面与正四棱锥的一个侧面完全重合的黏在一起，得到一个如图所示的多面体；（1）证明：P，E

Question

有一个所有棱长均为a的正四棱锥P-ABCD，还有一个所有棱长均为a的正三棱锥，将此三棱锥的一个面与正四棱锥的一个侧面完全重合的黏在一起，得到一个如图所示的多面体；

（1）证明：P，E，B，A四点共面；
（2）求三棱锥A-PDE的体积；
（3）在底面ABCD内找一点M，使EM⊥面PBC，指出M的位置，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：取PB的中点F，连结AF，EF，CF，AC，
∵棱长均为a的正三棱锥的各面均为正三角形，
∴AF⊥PB，CF⊥PB，且AF=CF=(√(3))/(2)a，
∴∠ACF为二面角P-AB-C的平面角，∠EFC为二面角E-PB-C的平面角，
在△AFC中，由余弦定理得：cos∠AFC=(AF2+CF2-AC2)/(2AF•CF)=-(1)/(3)，
在△EFC中，由余弦定理得：cos∠EFC=(EF2+CF2-EC2)/(2EF•CF)=(1)/(3)，
∴∠AFC+∠EFC=π，
∴P，E，B，A四点共面．
（2） ∵P，E，B，A四点共面，∠PAB=60°，∠ABE=120°，
∴AP∥BE，BE∥平面APD，
∴三棱锥A-PDE的体积：
V_A-PDE=V_B-APD=V_P-ABD=(1)/(3)×(1)/(2)×a×a×(√(2))/(2)a=(√(2))/(12)a3．
（3） ∵ME⊥平面PBC，交平面PBC于点H，
则H为△PBC的重心，
连结AC，在△ACE中，∵(CH)/(HF)=(1)/(2)，∴H为△ACE的重心，
∴M为线段AC的中点．