如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若BE=3EC，求证：DE∥平面A1MC1；（2）若AA1=l，求三棱锥A-MA1C1的体积．

Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥AB，AB=2AA，M是AB的中点，△A₁MC₁是等腰三角形，D为CC₁的中点，E为BC上一点．

（1）若BE=3EC，求证：DE∥平面A₁MC₁；
（2）若AA₁=l，求三棱锥A-MA₁C₁的体积．

Answer 1

证明：（1）如图1，取BC中点为N，连结MN，C₁N，
∵M是AB中点，∴MN∥AC∥A₁C₁，
∴M，N，C₁，A₁共面．
∵BE=3EC，∴E是NC的中点．
又D是CC₁的中点，∴DE∥NC₁．
∵DE⊄平面MNC₁A₁，NC₁⊂平面MNC₁A₁，
∴DE∥平面A₁MC₁．
（2）如图2，当AA₁=1时，
则AM=1，A₁M=√(2)，A₁C₁=√(2)．
∴三棱锥A-MA₁C₁的体积：
VA-A1MC1=VC1-A1AM=(1)/(3)•(1)/(2)AM•AA1•A1C1=(√(2))/(6)．