以任意三角形ABC的边BC,CA,AB为底边,分别向外作底角都是30度的等腰三角形以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边,分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB,求证△DEF是正三角形,几何证明

Question

以任意三角形ABC的边BC,CA,AB为底边,分别向外作底角都是30度的等腰三角形
以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边,分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB
,求证△DEF是正三角形,
几何证明

Answer 1

证：∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°
在多边形AFBDCE中作一点G,使AG=AF,GE=DC.
连接GF、GA、GE,DE、DF、EF.
∵△ABF、△BCD、△ACE均为底角等于30°的等腰三角形（即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°）
∴△ABF∽△BCD∽△ACE
∴AF/AB = AE/AC = DC/BC
而AG=AF,GE=DC
∴AG/AB = AE/AC = GE/BC,
∴△AGE∽△ABC
∴∠GAE=∠BAC,∠AGE=∠ABC
∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°
又∵AG=AF
∴△AGF为等边三角形
∴AG=AF,∠AGF=60°
∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°
∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°
∴∠FBD=∠FGE（∠AGE=∠ABC）
∵在△FBD和△FGE中,
FB=FG,∠FBD=∠FGE,BD=GE
∴△FBD≌△FGE(SAS)
∴FD=FE
同理可证:FD=DE
则 △DEF为等边三角形