如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°D为棱BB1的中点．（1）求证：面DA1C⊥面AA1C1C；（2）若二面角A-A1D-C的平面角为60°，求AA1AB的值．

Question

如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°D为棱BB₁的中点．
（1）求证：面DA₁C⊥面AA₁C₁C；
（2）若二面角A-A₁D-C的平面角为60°，求(AA1)/(AB)的值．

Answer 1

证明：（1）取A₁C的中点E，取AC的中点F，连接EF，DE，BF．
则由条件可得DE∥BF，又面BAC⊥面AA₁C₁C且交于AC，∴BF⊥AC，
BF⊥面AA₁C₁C，∴DE⊥面AA₁C₁C
而DE⊂面DA₁C，所以平面DA₁C⊥平面AA₁C₁C．
（2）延长DA₁交AB的延长线于点G，则有CB⊥平面AA₁B₁C
过B作BH⊥A₁G于H，边CH，则A₁G⊥CH，
所以∠CHB为二面角A-A₁D-C的平面角．
设AA₁=2b，AB=BC=a，在直角三角形A₁AG中，AB=BG，
在直角三角形DBG中，HB=(BD•BG)/(DG)=(ab)/(√(a2+b2))，
在直角三角形CHB中，tan∠CHB=(BC)/(BH)=(√(a2+b2))/(b)，
∴(√(a2+b2))/(b)=tan60°=√(3)．
∴(2b)/(2)＝√(2)，
∴(AA1)/(AB)=

作业帮用户 2017-10-28

问题解析

（1）连接A₁C与AC₁交于点F，连接EF，欲证平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C，根据面面垂直的判定定理可知在平面A₁EC内一直线与平面AA₁C₁C垂直，而根据线面垂直的判定定理可得EF⊥面AA₁C₁C，满足定理条件；
（2）先作出相应的辅助线，作出二面角的平面角，利用角为60°建立方程，即可求出比值．

名师点评

本题考点：

平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．

考点点评：

本小题主要考查平面与平面垂直的判定，以及二面角及其度量等有关基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．

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