在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，SA=AB=AC=33BC，点D是BC边的中点，点E是线段AD上一点，且AE=4DE，点M是线段SD上一点．（1）求证：BC⊥AM；（2）若AM⊥平面SBC，求证EM∥平面ABS．

Question

在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，SA=AB=AC=(√(3))/(3)BC，点D是BC边的中点，点E是线段AD上一点，且AE=4DE，点M是线段SD上一点．
（1）求证：BC⊥AM；
（2）若AM⊥平面SBC，求证EM∥平面ABS．

Answer 1

证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，
∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC，SA∩AD=A，∴BC⊥平面SAD
∵AM⊂平面SAD，
∴BC⊥AM．
（2）∵AM⊥面SBC，SD⊂平面SBC⇒AM⊥SD，
∵SA=AB=AC=(√(3))/(3)BC，可设BC=3，SA=√(3)
在△ABC中，cos∠A=(3+3−9)/(2×√(3)×√(3))=-(1)/(2)，∴∠A=(2π)/(3)∴AD=(√(3))/(2)
．
在Rt△SAD中，(SA)/(AD)=2=(AM)/(MD)=(SM)/(AM)，∴SM=4MD，∵AE=4ED，

∴ME∥SA，ME⊄平面ABS，SA⊂平面ABS．
∴EM∥平面ABS．