在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=1+cosαy=sinα（α为参数）；在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=2sinθ；（1）求曲线C1的极坐标方程

Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

x=1+cosα

y=sinα

（α为参数）；在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂的极坐标方程为ρcos²θ=2sinθ；
（1）求曲线C₁的极坐标方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（2）若射线l：y=kx（x≥0）与曲线C₁，C₂的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率k∈[1，√(3))时，求|OA|•|OB|的取值范围．

Answer 1

（1）曲线C₁的参数方程为

x=1+cosα

y=sinα

（α为参数），普通方程为（x-1）²+y²=1，即x²+y²=2x，
极坐标方程为C₁：ρ=2cosθ，
曲线C₂的极坐标方程为ρcos²θ=2sinθ，即ρ²cos²θ=2ρsinθ，
∴曲线C₂的直角坐标方程C2：x2=2y，
（2）设射线l的倾斜角为α，
则射线l的参数方程为

x=tcosα

y=tsinα

（t为参数，(π)/(4)≤α<(π)/(3)）．
把射线l的参数方程代入曲线C₁的普通方程得：t²-2tcosα=0，
解得t₁=0，t₂=2cosα．
∴|OA|=|t₂|=2cosα．
把射线l的参数方程代入曲线C₂的普通方程得：cos²αt²=2tsinα，
解得t₁=0，t₂=(2sinα)/(cos2α)．
∴|OB|=|t₂|=(2sinα)/(cos2α)．
∴|OA|•|OB|=2cosα•(2sinα)/(cos2α)=4tanα=4k．
∵k∈[1，√(3))，4k∈[4，4√(3))，
∴|OA|•|OB|的取值范围是[4，4√(3))．