在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为x=1+cosφy=sinφ（φ为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程

Question

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁的参数方程为

x=1+cosφ

y=sinφ

（φ为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=sinθ．
（Ⅰ）求曲线C₁的极坐标方程及曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知曲线C₁，C₂交于O，A两点，过O点且垂直于OA的直线与曲线C₁，C₂交于M，N两点，求|MN|的值．

Answer 1

（I）曲线C₁的参数方程为

x=1+cosφ

y=sinφ

（φ为参数），
利用平方关系可得：（x-1）²+y²=1，化为x²+y²-2x=0．
利用互化公式可得：曲线C₁的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
曲线C₂的极坐标方程为ρ=sinθ，可得：ρ²=ρsinθ，可得：曲线C₂的直角坐标方程为x²+y²=y．
（II）联立

ρ=2cosθ

ρ=sinθ

，可得tanθ=2，设点A的极角为θ，则tanθ=2，可得sinθ=(2√(5))/(5)，cosθ=(√(5))/(5)，
则M(ρ1，θ-(π)/(2))，代入ρ=2cosθ，可得：ρ₁=2cos(θ-(π)/(2))=2sinθ=(4√(5))/(5)．
N(ρ2，θ+(π)/(2))，代入ρ=sinθ，可得：ρ₂=sin(θ+(π)/(2))=cosθ=(√(5))/(5)．
可得：|MN|=ρ₁+ρ₂=√(作业帮用户2016-12-28扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)