如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，以AB所在直线为x轴，过c点的直线为y轴建立平面直角坐标系．此时，A点坐标为（-1，0），B点坐标为（4，0）（1）试求点C的坐标；（2）若抛物线y=ax2+bx+c过△ABC

Question

如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，以AB所在直线为x轴，过c点的直线为y轴建立平面直角坐标系．此时，A点坐标为（-1，0），B点坐标为（4，0）
（1）试求点C的坐标；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c过△ABC的三个顶点，求抛物线的解析式；
（3）点D（1，m）在抛物线上，过点A的直线y=-x-1交（2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点B的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，OC⊥AB，
由射影定理，得：OC²=OA•OB=4，即OC=2，
∴C（0，2）；

（2）∵抛物线经过A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4）（a≠0），则有：
2=a（0+1）（0-4），a=-(1)/(2)，
∴y=-(1)/(2)（x+1）（x-4）=-(1)/(2)x²+(3)/(2)x+2；

（3）存在符合条件的P点，且P（(13)/(7)，0）或（-(22)/(5)，0）．
根据抛物线的解析式易知：D（1，3），
联立直线AE和抛物线的解析式有：

y＝−(1)/(2)x2+(3)/(2)x+2

y＝−x−1

，
解得

x＝−1

y＝0

，

x＝6

y＝−7

，
∴E（6，-7），
∴tan∠DBO=(3−0)/(4−1)=1，即∠DBO=45°，tan∠EAB=(0−(−7))/(6−(−1))=1，即∠EAB=45°，
∴∠DBA=∠EAB，
若以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似，则有两种情况：
①△PBD∽△BAE；②△PBD∽△EAB．
易知BD=3√(2)，EA=7√(2)，AB=5，
由①得：(PB)/(AB)＝(BD)/(AE)，即(PB)/(5)＝(3√(2))/(7√(2))，即PB=(15)/(7)，OP=OB-PB=(13)/(7)，
由②得：(BP′)/(AE)＝(BD)/(AB)，即(P′B)/(7√(2))＝(3√(2))/(5)，即P′B=(42)/(5)，OP′=OB-BP′=-(22)/(5)，
∴P（(13)/(7)，0）或（-(22)/(5)，0）．