设总体X的密度函数为f（x）=θcθx−(θ+1)x＞c0x≤c．其中c＞0是已知常数，而θ＞1是未知参数．（X1，X2，…，Xn）是从该总体中抽取的一个样本，试求参数θ的最大似然估计量．

Question

设总体X的密度函数为f（x）=

θcθx−(θ+1)  x＞c

0             x≤c

．其中c＞0是已知常数，而θ＞1是未知参数．（X₁，X₂，…，X_n）是从该总体中抽取的一个样本，试求参数θ的最大似然估计量．

Answer 1

∵似然函数为L(θ)＝

n

i＝1

f(xi)＝

n

i＝1

θ cθ

x

−(θ+1) i

＝θn cnθ(x1x2…xn)−(θ+1)
∴lnL(θ)＝nlnθ+nθln c−(θ+1)

n

i＝1

lnxi．
∴(d)/(dθ)lnL(θ)＝(n)/(θ)+nln c−

n

i＝1

lnxi
令(d)/(dθ)lnL(θ)＝0，即
(n)/(θ)+nln c−

n

i＝1

lnxi＝0
得到似然函数的唯一驻点θ＝(n)/(ni＝1lnxi−nln c)．
所以参数θ的最大似然估计量为

̂

θ

＝(n)/(ni＝1lnXi−nln c)．