设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，X的密度函数为f(x)＝(β+1)xβ，0＜x＜10，其他，其中β＞0，求参数β的矩估计量和极大似然估计量．

Question

设X₁，X₂，…，X_n为总体X的一个样本，X的密度函数为f(x)＝

(β+1)xβ，0＜x＜1

0，其他

，其中β＞0，求参数β的矩估计量和极大似然估计量．

Answer 1

由于X的密度函数为f(x)＝

(β+1)xβ，0＜x＜1

0，其他

，
因此E(X)＝

∫

1 0

x(β+1)xβdx＝(β+1)/(β+2)
由

.

X

＝E(X)＝(β+1)/(β+2)，知矩估计量为
 

β

＝(1)/(1−.X)−2
又似然函数为：
 L(β)＝

(β+1)n

n

i＝1

xi β，0＜xi＜1

0，其它

因此取对数，得
lnL(β)＝nln(β+1)+β

n

i＝1

lnxi
令(∂lnL(β))/(∂β)＝(n)/(β+1)+

n

i＝1

lnxi＝0
解得极大似然估计量为

作业帮用户 2017-10-15

问题解析

首先将EX求出来，用样本均值代替EX，即可得到β的矩估计；其次，构造似然函数，取自然对数，求导，求得参数β的最大似然估计量．

名师点评

本题考点：

最大似然估计法；构造估计量的矩估计法．

考点点评：

此题考查矩估计量和极大似然估计量的求法，采用的常规方法，要熟练掌握．

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