设随机变量X分布函数为F（x，α，β）=1−(αx)β，x＞α0，x≤α（1）当α=1时，求未知参数β的矩估计和极大似然估计；（2）当β=2时，求未知参数α的极大似然估计．

Question

设随机变量X分布函数为F（x，α，β）=

1−((α)/(x))β，x＞α

0，x≤α

（1）当α=1时，求未知参数β的矩估计和极大似然估计；
（2）当β=2时，求未知参数α的极大似然估计．

Answer 1

设x₁，x₂，…x_n是来自总体的一组样本观测值
（1）当a=1时，设f（x，β）为X关于参数β的概率密度，则
f(x，β)＝F′(x，β)＝

(β)/(xβ+1)，x＞1

0，      x≤1

①矩估计：由于EX＝(β)/(β+1)
令EX＝

.

x

，则
β＝(.x)/(.x−1)
即β的矩估计为

β

＝

.

x

/(

.

x

−1)
②极大似然估计：
由于似然函数为L（x₁，x₂，…，x_n；λ）=

n

π

i＝1

(β)/(xiβ+1)
∴lnL=nLnβ-（β+1）l（x₁…x_n）
令(∂lnL)/(∂β)＝0
解得
β＝(n)/(ln(x1…xn))
∴β的矩估计为

β

＝(n)/(ln(x1…xn))
（2）当β=2时，设f（x，α）为X关于参数α的概率密度，则
f(x，α)＝F′(x，α)＝

(2α2)/(x3)，x＞α

0，      x≤α

，
∴似然函数为L(x1，…，xn；α)＝

(2nα2n)/((x1…xn)3)，xi＞α

0，               其它

=

(2nα2n)/((x1…xn)3)，x(n)≥…≥(1)＞α

0，                 其它

容易看出当α取得最大值时，似然函数达到最大
∴

α

＝x(1)