已知曲线f（x）=ln（2-x）+ax在点（0，f（0））处的切线斜率为12．（1）求f（x）的极值；（2）设g（x）=f（x）+kx，若g（x）在（-∞，1）上是增函数，求实数k的取值范围；（3）若数列{an}满足a1

Question

已知曲线f（x）=ln（2-x）+ax在点（0，f（0））处的切线斜率为(1)/(2)．
（1）求f（x）的极值；
（2）设g（x）=f（x）+kx，若g（x）在（-∞，1）上是增函数，求实数k的取值范围；
（3）若数列{a_n}满足a₁∈（0，1），a_n+1=f（a_n），求证：对一切n∈N^*，0＜a_n＜1．

Answer 1

（1）f（x）的定义域是（-∞，2），f′(x)＝(1)/(x−2)+a，
由题知f′(0)＝−(1)/(2)+a＝(1)/(2)，∴a＝1∴f′(x)＝(1)/(x−2)+1＝(x−1)/(x−2)
令f'（x）=0，得x=1，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：

所以f（x）在x=1处取得极大值1，无极小值；
（2）g(x)＝ln(2−x)+(k+1)x，g′(x)＝(1)/(x−2)+(k+1)，
由题知g'（x）≥0在（-∞，1）上恒成立，即k≥(1)/(2−x)−1在（-∞，1）上恒成立，
∴x＜1，∴2-x＞1，∴0＜(1)/(2−x)＜1，
∴−1＜(1)/(2−x)−1＜0，∴k≥0，
即实数k的取值范围是[0，+∞）；
（3）a_n+1=f（a_n）=ln（2-a_n）+a_n
（i）当n=1时，由题意知0＜a₁＜1；
（ii）假设n=k时，有0＜a_k＜1，
则n=k+1时，∵a_k+1=f（a_k），f（x）在（0，1）上是增函数，
∴f（0）＜f（a_k）＜f（1）
即f（0）＜a_k+1＜f（1），即ln2＜a_k+1＜1，
又ln2＞0
∴0＜a_k+1＜1，即n=k+1时，求证的结论也成立
由（i）（ii）可知对一切n∈N^*，0＜a_n＜1．