过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线，叫做曲线在该点的法线．已知抛物线C的方程为y=ax2（a＞0，x≠0）．点M（x0，y0）是C上任意点，过点M作C的切线l，法线m．（I）求法线m与抛物

Question

过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线，叫做曲线在该点的法线．
已知抛物线C的方程为y=ax²（a＞0，x≠0）．点M（x₀，y₀）是C上任意点，过点M作C的切线l，法线m．
（I）求法线m与抛物线C的另一个交点N的横坐标x_N取值范围；
（II）设点F是抛物线的焦点，连接FM，过点M作平行于y轴的直线n，设m与x轴的交点为S，n与x轴的交点为K，设l与x轴的交点为T，求证∠SMK=∠FMN

Answer 1

（Ⅰ）易得直线m的方程：y−y0＝−(1)/(2ax0)(x−x0)与y=ax²
联立得ax2+(x)/(2ax0)−(1)/(2a)−a

x

2 0

＝0，
∴xN•x0＝−(1)/(2a2)−

x

2 0

，xN＝−(1)/(2a2x0)−x0，
易得xN∈(−∞，−(√(2))/(2)]∪[(√(2))/(2)，+∞)
即x_N取值范围是(−∞，−(√(2))/(2)]∪[(√(2))/(2)，+∞)；（6分）
（Ⅱ）由题意得l的方程y-y₀=2ax₀（x-x₀），令y=0得xT＝(x0)/(2)，∴T((x0)/(2)，0)
此时T到直线n的距离为|(x0)/(2)|，又MF方程：y−(1)/(4a)＝(ax20−(1)/(4a))/(x0)(x−0)，
设T到MF距离为d，则d＝(|(ax20−(1)/(4a))(x0)/(2)+(x0)/(4a)|)/(√(x20+(ax20−(1)/(4a))2))＝|(x0)/(2)|，
∴∠TMK=∠FMT，∴∠SMK=∠FMN．（13分）