已知直线l过抛物线y^2=2px的焦点F(1,0),交抛物线于M,N两点,O为坐标原点,直线mo,no分别交准线于p,q,求pq最小值

Question

已知直线l过抛物线y^2=2px的焦点F(1,0),交抛物线于M,N两点,O为坐标原点,直线mo,no分别交准线于p,q,求pq最小值

Answer 1

已知直线l过抛物线y²=2px的焦点F(1,0),交抛物线于M,N两点,O为坐标原点,直线MO,NO分别交准线于P,Q求PQ的最小值.
∵c=p/2=1,∴p=2,故抛物线方程为y²=4x.
设过焦点F的直线方程为y=k(x-1),代入抛物线方程得k²(x-1)²=4x,即有k²x²-2(k²+2)x+k²=0；
设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),则x₁+x₂=2(k²+2)/k²；x₁x₂=1；
y₁+y₂=k(x₁+x₂)-2=2(k²+2)/k-2=(2k²-2k+4)/k=2(k²-k+2)/k.
y₁y₂=k²(x₁-1)(x₂-1)=k²[x₁x₂-(x₁+x₂)+1]=k²[1-2(k²+2)/k²+1]=-4.
x₁=y₁²/4；x₂=y₂²/4；
MO所在直线的方程为y=(y₁/x₁)x=(4/y₁)x；NO所在直线的方程为y=(y₂/x₂)x=(4/y₂)x；
因为准线方程为x=-1,故令x=-1,得MO所在直线与准线的交点P的坐标为(-1,-4/y₁)；得NO所在直线与准线的交点的Q的坐标为(-1,-4/y₂)；
那么∣PQ∣=∣-4/y₁+4/y₂∣=4∣(y₁-y₂)/y₁y₂∣=4∣[(y₁+y₂)²-4y₁y₂]/(y₁y₂)∣
=4∣{[4(k²-k+2)²/k²]+16}/(-4)∣=∣[4(k²-k+2)²/k²]+16∣=4∣[(k²-k+2)²/k²]+4∣
=4∣(k-1+2/k)²+4∣=4∣[k+(2/k)-1]²+4∣≧4∣(2√2-1)²+4∣=4(8-4√2+1+4)=4(13-4√2)
当k=2/k,即k²=2,k=±√2时等号成立.即当k=±√2时PQ获得最小值4(13-4√2).