椭圆C的中心在原点O，它的短轴长为，相应的焦点的准线了l与x轴相交于A，|OF1|=2|F1A|.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆C的左焦点作一条与两坐标轴都不垂直的直线l，交椭圆于P、Q两点，

Question

椭圆C的中心在原点O，它的短轴长为 ，相应的焦点 的准线了l与x轴相交于A，|OF ₁ |=2|F ₁ A|.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆C的左焦点作一条与两坐标轴都不垂直的直线l，交椭圆于P、Q两点，若点M在 轴上，且使MF ₂ 为 的一条角平分线，则称点M为椭圆的“左特征点”，求椭圆C的左特征点；
(3)根据(2)中的结论，猜测椭圆 的“左特征点”的位置．

Answer 1

(1)  (2)  (3) 左准线与 轴的交点

本试题主要是运用椭圆的几何性质得到椭圆方程，然后结合新定义得到直线与 椭圆的方程联立，结合韦达定理表示，然后得到左特征点。同时利用椭圆的准线返程的得到交点，进而猜测左特征点。
（1）由条件知 ，可设椭圆方程为
又
（2）)设左特征点为 ，左焦点为 ，
可设直线 的方程为
联立直线与椭圆方程的得到关系式，进而得到韦达定理，利用角平分线的性质得到结论。
（3）因为椭圆 的左准线与 轴的交点为 ，
故猜测椭圆 的左特征点为左准线与 轴的交点。
（1）由条件知 ，可设椭圆方程为
又
椭圆方程为    …………4分
(2)设左特征点为 ，左焦点为 ，
可设直线 的方程为
由 与 ，消去 得
又设 ，则
      ①     
        　　　②                …………6分
因为 为 的角平分线，所以 ，即
       ③
将 与 代入③化简，得     
   ④
再将①②代入④得       
 即左特征点为

作业帮用户 2016-11-24

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