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(1999•西安)如图,在直角坐标系中,以AB为直径的⊙C交x轴于A,交y轴于B,满足OA:OB=4:3,以OC为直径作⊙D,设⊙D的半径为2.(1)求⊙C的圆心坐标;(2)过C作⊙D的切线EF交x轴于E,交y
题目详情
(1999•西安)如图,在直角坐标系中,以AB为直径的⊙C交x轴于A,交y轴于B,满足OA:OB=4:3,以OC为直径作⊙D,设⊙D的半径为2.
(1)求⊙C的圆心坐标;
(2)过C作⊙D的切线EF交x轴于E,交y轴于F,求直线EF的解析式;
(3)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴过C点,顶点在⊙C上,与y轴交点为B,求抛物线的解析式.

(1)求⊙C的圆心坐标;
(2)过C作⊙D的切线EF交x轴于E,交y轴于F,求直线EF的解析式;
(3)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴过C点,顶点在⊙C上,与y轴交点为B,求抛物线的解析式.

▼优质解答
答案和解析
(1)⊙C以AB为直径,则C为Rt△OAB中斜边AB的中点,易知OC=4,那么AB=2OC=8;由OA、OB的比例关系,易知∠BAO的正切值,通过解直角三角形即可求得OB、OA的长,进而可求出A、B的坐标,也就能得到C点的坐标(若过C分别作OA、OB的垂线,由垂径定理即可求得C点的坐标);
(2)由(1)知OC是Rt△OAB斜边AB的中线,则BC=OC=AC,可得到∠BOC=∠CBO,∠COA=∠CAO;由此可证得Rt△AOB、Rt△OCE、Rt△FCO都相似,根据OC的长和相似三角形的比例线段即可求得OE、OF的长,也就得到了E、F的坐标,进而可用待定系数法求出直线EF的解析式;
(3)抛物线的对称轴过C点,且顶点在⊙C上,根据⊙C的半径及C点坐标,易求得抛物线的顶点坐标,又已知了B点的坐标,即可用待定系数法求出抛物线的解析式.(注意要分两种情况:①抛物线开口向上,②抛物线开口向下)
【解析】
(1)∵OA⊥OB,OA:OB=4:3,⊙D的半径为2
∴⊙C过原点,OC=4,AB=8
A点坐标为(
,0)B点坐标为(0,
)
∴⊙C的圆心C的坐标为(
)(3分)
(2)由EF是⊙D的切线,
∴OC⊥EF
∵CO=CA=CB
∴∠COA=∠CAO,∠COB=∠CBO
∴Rt△AOB∽Rt△OCE∽Rt△FCO
∴
,
∴OE=5,OF=
∴E点坐标为(5,0),F点坐标(0,
)
∴切线EF的解析式为y=-
x+
;(7分)
(3)①当抛物线开口向下时,由题意,得
抛物线顶点坐标为(
,
+4),
可得:-
=
,
=
,c=
∴a=-
,b=1,c=
,
∴y=-
x2+x+
;(10分)
②当抛物线开口向上时,
顶点坐标为(
,
-4),
可得:-
=
,
=-
,c=
,
∴y=
x2-4x+
;
综上所述,抛物线解析式为:
y=-
x2+x+
或y=
x2-4x+
.(12分)
注:其他解法参照以上评分标准评分
(2)由(1)知OC是Rt△OAB斜边AB的中线,则BC=OC=AC,可得到∠BOC=∠CBO,∠COA=∠CAO;由此可证得Rt△AOB、Rt△OCE、Rt△FCO都相似,根据OC的长和相似三角形的比例线段即可求得OE、OF的长,也就得到了E、F的坐标,进而可用待定系数法求出直线EF的解析式;
(3)抛物线的对称轴过C点,且顶点在⊙C上,根据⊙C的半径及C点坐标,易求得抛物线的顶点坐标,又已知了B点的坐标,即可用待定系数法求出抛物线的解析式.(注意要分两种情况:①抛物线开口向上,②抛物线开口向下)
【解析】
(1)∵OA⊥OB,OA:OB=4:3,⊙D的半径为2
∴⊙C过原点,OC=4,AB=8
A点坐标为(


∴⊙C的圆心C的坐标为(

(2)由EF是⊙D的切线,
∴OC⊥EF
∵CO=CA=CB
∴∠COA=∠CAO,∠COB=∠CBO
∴Rt△AOB∽Rt△OCE∽Rt△FCO
∴


∴OE=5,OF=

∴E点坐标为(5,0),F点坐标(0,

∴切线EF的解析式为y=-


(3)①当抛物线开口向下时,由题意,得
抛物线顶点坐标为(


可得:-





∴a=-


∴y=-


②当抛物线开口向上时,
顶点坐标为(


可得:-





∴y=


综上所述,抛物线解析式为:
y=-




注:其他解法参照以上评分标准评分
看了 (1999•西安)如图,在直...的网友还看了以下:
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