已知F是抛物线y2=4x的焦点，Q是其准线与x轴的交点，直线l过点Q，设直线l与抛物线交于点A，B．（1）设直线FA、FB的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的值；（2）若线段AB上有一点R，满足，求点R的轨

Question

已知F是抛物线y²=4x的焦点，Q是其准线与x轴的交点，直线l过点Q，设直线l与抛物线交于点A，B．
（1）设直线FA、FB的斜率分别为k₁，k₂，求k₁+k₂的值；
（2）若线段AB上有一点R，满足，求点R的轨迹．

Answer 1

（1）由题意可得P（1，0）、Q（-1，0），设直线l的方程为 y=k（x+1），k≠0，A（ x₁，y₁） B（x₂，y₂），
则 k₁+k₂=+=  ①．
由  可得 k²x²+（2k²-4）x+k²=0，∴x₁+x₂=，x₁•x₂=1．
代入①可得 k₁+k₂=0．
（2）设R（x，y），∵，而 ==，=，∴=．
从而有 y===2k．再由R（x，y）在线段AB上，故有 y=k（x+1），故有x=1．
再由 k²x²+（2k²-4）x+k²=0 的判别式△＞0，求得-1＜k＜1，故所求点R的轨迹方程为 x=1 （-2＜y＜2 y≠0），轨迹是一条线段．