已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴长是短轴长的3倍，过椭圆上一点Q作斜率分别为k1，k2的直线QA，QB交椭圆于A，B两点，若点A，B关于原点对称，则k1k2的值为−13−13．

Question

已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)的长轴长是短轴长的√(3)倍，过椭圆上一点Q作斜率分别为k₁，k₂的直线QA，QB交椭圆于A，B两点，若点A，B关于原点对称，则k₁k₂的值为

−(1)/(3)

−(1)/(3)

．

Answer 1

因为椭圆的长轴长是短轴长的√(3)倍，即2a=√(3)×2b，即a=√(3)b，即椭圆方程为x²+3y²=3b²．
设点Q（x，y），A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），代入椭圆方程x²+3y²=3b²，
得

x

2 1

+3

y

2 1

＝3b2，
所以k1k2＝(y−y1)/(x−x1)⋅(y+y1)/(x+x1)＝(y2−y21)/(x2−x21)=(y2−y21)/((3b2−3y2)−(3b2−3y21))＝(y2−y21)/(3y21−3y2)＝−(1)/(3)．
故答案为：−(1)/(3)．