椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的离心率为√3/2,长轴端点与短轴端点间的距离为√5.过点(0,4)的直线l与椭圆C交于两点E,F,O为坐标原点,若OE⊥OF,求直线L的斜率.(x^2/4+y^2=1)

Question

椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的离心率为√3/2,长轴端点与短轴端点间的距离为√5.过点(0,4)的直线l与椭圆C交于两点E,F,O为坐标原点,若OE⊥OF,求直线L的斜率.(x^2/4+y^2=1)

Answer 1

椭圆方程是x^2/4+y^2=1
设直线L方程是y=kx+4
代入到椭圆中有x^2+4(k^2x^2+8kx+16)=4
即有(1+4k^2)x^2+32kx+60=0
x1x2=60/(1+4k^2),x1+x2=-32k/(1+4k^2)
y1y2=(kx1+4)(kx2+4)=k^2x1x2+4k(x1+x2)+16=60k^2/(1+4k^2)-128k^2/(1+4k^2)+16=(-4k^2+16)/(1+4k^2)
由于有OE垂直于OF,则有x1x2+y1y2=0
即有60/(1+4k^2)+(-4k^2+16)/(1+4k^2)=0
-4k^2+76=0
k^2=19
k=土根号19