已知椭圆两焦点F1,F2在轴上,短轴长为2又根号2,离心率为2分之根号2,p是椭圆在第一象限弧上的一点,且pF

Question

已知椭圆两焦点F1,F2在轴上,短轴长为2又根号2,离心率为2分之根号2,p是椭圆在第一象限弧上的一点,且pF

Answer 1

（1）设椭圆的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1,由题意可得b=
2
,
c
a
=
2

2
,即a=
2
c,
∵a2-c2=2
∴c=
2
,a=2
∴椭圆方程为
x2
2
+
y2
4
=1
∴焦点坐标为（0,
2
）,（0,-
2
）,设p（x0,y0）（x0＞0,y0＞0）
则
PF1
=（-x0,
2
-y0）,
PF2
=（-x0,-
2
-y0）,
∴
PF1
•
PF2
=x02-（2-y02）=1
∵点P在曲线上,则
y02
4
+
x02
2
=1
∴x02=
4−
y
2
0


2
,
从而
4−
y
2
0


2
-（2-y02）=1,得y0=
2
,则点P的坐标为（1,
2
）
（2）由（1）知PF1∥x轴,直线PA,PB斜率互为相反数,设PB的斜率为k（k＞0）,
则PB的直线方程为y-
2
=k（x-1）,由
y−
2
＝k(x−1)
x2
2
+
y2
4
＝1

得
（2+k2）x2+2k（
2
-k）x+（
2
-k2）-4=0
设B（xB,yB）,则xB=
2k(k−
2)

2+k2
-1=
k2 −2
2
k−2
2+k2
,
同理可得xA＝
k2+2
2
k−2
2+k2
,则xA−xB＝
4
2
k
2+k2
,
yA-yB=-k（xA-1）-k（xB-1）=
8k
2+k2
所以AB的斜率kAB=
yA−yB
xA−xB
=
2
为定值．