已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为2，(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N(M、N不是椭圆的左、右顶点)，且以MN为直径的圆经

Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为2 ，
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N(M、N不是椭圆的左、右顶点)，且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标。

Answer 1

(1)设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
则 ，解得 ，
∴椭圆C的标准方程为 。
(2)由方程组 消去y，得(3+4k ² )x ² +8kmx+4m ² -12=0，
由题意Δ=(8km) ² -4(3+4k ² )(4m ² -12)＞0，
整理得：3+4k ² -m ² ＞0， ①
设M(x ₁ ，y ₁ )、N(x ₂ ，y ₂ )，
则 ，
由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A(2，0)，
∴(x ₁ -2)(x ₂ -2)+y ₁ y ₂ =0，
即(1+k ² )x ₁ x ₂ +(km-2)(x ₁ +x ₂ )+m ² +4=0，
也即 ，
整理得7m ² +16mk+4k ² =0，解得m=-2k或 ，均满足①．
当m=-2k时，直线l的方程为y=kx-2k，过定点(2，0)，不符合题意，舍去；
当 时，直线l的方程为 ，过定点 ，故直线l过定点，且定点的坐标为 。