（2014•潍坊二模）如图，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的短轴长为2，点P为上顶点，圆O：x2+y2=b2将椭圆C的长轴三等分，直线l：y=mx-45（m≠0）与椭圆C交于A、B两点，PA、PB与圆O交于M、N两点．（

Question

（2014•潍坊二模）如图，椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的短轴长为2，点P为上顶点，圆 O：x²+y²=b²将椭圆C的长轴三等分，直线l：y=mx-(4)/(5)（m≠0）与椭圆C交于A、B两点，PA、PB与圆O交于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证△APB为直角三角形；
（Ⅲ）设直线MN的斜率为n，求证：(m)/(n)为定值．

Answer 1

（Ⅰ）∵椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的短轴长为2，∴2b=2，解得b=1，
∵圆O将椭圆的长轴三等分，∴2b=(1)/(3)×2a，
∴a=3b=3，
∴椭圆C的方程为(x2)/(9)+y2＝1．
（Ⅱ）证明：由

y＝mx−(4)/(5)

(x2)/(9)+y2＝1

，消去y得（1+9m²）x²-(72)/(5)mx−(81)/(25)＝0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2＝(72m)/(5(1+9m2))，x1x2＝(−81)/(25(1+9m2))，
又P（0，1），∴

PA

•

PB

＝(x1，y1−1)•(x2，y2−1)
=