已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的长、短轴端点分别为A、B,从此椭圆上一点M(在x轴上方)向x轴做垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,AB(向量）∥OM（向量）（1）求椭圆的离心率e

Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的长、短轴端点分别为A、B,从此椭圆上一点M(在x轴上方)向x轴做垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,AB(向量）∥OM（向量） （1）求椭圆的离心率e

Answer 1

由于P向X轴作垂线,垂足F1,所以设M(-c,y),所以kAB=y/（c）,
长轴端点A(a,0),短轴端点(0,b),所以kAB=-b/a,
因为AB平行OM,所以y/（-c）=-b/a,所以y=bc/a,所以M(-c,bc/a),
把M代入椭圆方程,可得(c^2/a^2)+((b^2*c^2)/a^2)/b^2=1,
解得c^2/a^2=1/2,又因为离心率e=c/a,所以e^2=c^2/a^2,
所以e=（根号2）/2.