椭圆上一点M（除短轴端点）与短轴两端点的连线分别与x轴交与P,Q两点,O为椭圆的中心.证:OP×OQ为定值

Question

椭圆上一点M（除短轴端点）与短轴两端点的连线分别与x轴交与P,Q两点,O为椭圆的中心.证:OP×OQ为定值

Answer 1

证明：设椭圆方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)、M的坐标为（x0,y0）,短轴两端点坐标为A(0,b）、B(0,-b）则
x0^2/a^2+y0^2/b^2=1,即x0^2b^2/(b^2-y0^2)=a^2
MA的直线方程为：（y-b)/(y0-b)=x/x0,令y=0,则x=-bx0/(y0-b),即
P点坐标为（-bx0/(y0-b),0）
MB的直线方程为：（y+b)/(y0+b)=x/x0,令y=0,则x=bx0/(y0+b),即
Q点坐标为（-bx0/(y0-b),0）
所以OP×OQ=-bx0/(y0-b)[bx0/(y0+b)]=b^2x0^2/(b^2-y0^2)=a^2
所以OP×OQ为定值a^2